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求函数极限时sinx=x=tAnx什么时候能用,什么时候不...

1、本题是无穷小比无穷小型不定式; 2、本题用麦克劳林级数展开,是最快捷的计算方法; 3、下面的图片解答中,开始时是用的罗毕达求导法则, 但是若一直使用罗毕达法则,将会困难重重,运算量非常大。 在接下去的计算中,又运用了三角恒等式、分...

具体问题具体分析 无穷小, sinx~tanx~asinx~x;tanx-x=x^3/3; sinx-x=-x^3/6; tanx-sinx=x^3/2

解:∵(sinx)^tanx=e^[(tanx)lnsinx]=e^[(sinx)(lnsinx)/cosx], ∴原式=e^[lim(x→π/2)(sinx)(lnsinx)/cosx]。而lim(x→π/2)(sinx)(lnsinx)/cosx]=0, ∴原式=1。 供参考。

(e^tanx-e^sinx)/x³ =(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/x³ 而(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)=e^ξ,ξ在sinx与tanx之间 所以原式=e^ξ*(tanx-sinx)/x³ 当x→0时,ξ→0,利用等价替换tanx-sinx~x³/2可知原式=e^0*1/2=1/2

如图所示:

x→π/2lim (sinx)^tanx换元:t=π/2-x,x=π/2-t=lim(t→0) [sin(π/2-t)]^tan(π/2-t)=lim (cost)^cott=lim e^ln (cost)^cott根据复合函数的极限运算:lim(x→x0) f(g(x))=f(lim(x→x0) g(x))=e^ lim ln (cost)^cott

用洛必达法则对分子分母上下求导 原式 =lim(1-secx)/(2xsinx+x^2*cosx) =lim(-2sinx/cos^3x)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x^2sinx) =lim(-2-4sin^2x/cos^4x)/(2cosx+4cosx-4xsinx-2xsinx-x^2cosx) =-1/3 实在无语,相似度有那么高吗,不就是答案一样吗

运用泰勒公式,易知 二分之一 (把常用的泰勒公式背下来口算这类题目)

分母一阶,分子只需要展开到一阶就好了,也就是可以拆开,等价无穷小,=1+1=2

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