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求y=sinx(0<=x<=π),y=0所围成的图形的面积以及绕x轴旋转所得到的体积 求过程

不难发现 y=sinx(0,π),y=0所围成图形绕x=π/2旋转而成旋转体的体积 等于y=cosx(-π/2,π/2) y=0所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积 等于y=cosx(π/2, 0) y=0所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积 利用薄壳法 V=2π∫上π/2 下0 ) xcosx dx (cosx在区间内都不小于0,绝对值符号可以去掉 ∫xcosx dx=xsinx-∫sinxdx =xsinx+cosx 原式=2π*( π/2 sin(π/2)+cos(π/2) -(0sin(0)+cos(0))=2π*(π/2 -1) π^-2π

由题意,平面图形的面积:S=∫ π 2 0 (1?sinxcosx)dx=[x?1 2 sin2x] π 2 0 =π 2 ?1 2 =π?1 2 旋转体体积V=∫ π 2 0 π[1?1 4 sin22x]dx=∫ π 2 0 π[1?1?cos2x 8 ]dx=π[7 8 x+1 16 sin2x] π 2 0 =7π2 16 .

由已知曲线y=ex,y=sinx,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,可知:S= ∫ 10 exdx?∫ 10 sinxdx=e?2+cos1. 利用旋转体体积计算公式可知:V=π ∫ 10 e2xdx?π ∫ 10 sin2xdx= π 2 (e2?1)?π 2 [x?1 2 sin2x ] 10 = π 2 (e2?2+1 2 sin2).

此此图形(平面面积=0.989)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积=2.34 (它在x=π/2处的切线以及y轴所围成图形有误,应改为以及X轴所围成,图形才能封闭)

争议由已知条件得,x=0和π 所以已知图形是两个点(0,0),(π,0) 由于纵坐标为 0,所以图形围绕y轴旋转所得图形是个圆,圆的高等于0,所以体积为0

旋转体方程为(cosx-sinx)^2=y^2+z^2; 体积可按定积分计算 体积微元 pi*(cosx-sinx)^2*dx 从0到pi/4做定积分即可 - 1/2 pi + 1/4 pi^2

如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法:一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆筒的体积为底面积乘高,底面积为2πxdx

你还是说绕哪个轴旋转的体积怎么算?如果是绕y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法:一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆

所求的立体图形体积微分为:πy^2dx (y^2表示y平方,以下同理) ,其中y==*x 体积为v=∫πy^2dx =(π/4)∫x^4dx=(π/20)x^5 ,积分限为x属于(0,2) 结果为 8π/5

考虑用定积分,y=sinx,y=cosx的交点是x=π/4,再考虑到对称性得2∫[0,π/4][π(cos^2x-sin^2x)]dx=2π∫[0,π/4][cos2x]dx=2π*1/2sin2x[0,π/4]=π 答案是对的.

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