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1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……+2012*2013 求解!要有过程

解法一:1*2+2*3+3*4++n(n+1)=*[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4++n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]=n(n+1)(n+2) 解法二:考察一般项第k项,k(k+1)=k+k1*2+2*3+3*4++n(n+1)=(1+2+3++n)+(1+2+3++n)=n(n+1)(2n+1

因为1*2+2*3+3*4++n(n+1)=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^3+3)++n^2+n=1^2+2^2+3^2+4^2++n^2+1+2+3+4++n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2,所以:原式=2012*(2012+1)*(2012*2+1)/6+2012*2013/2=2012*2013*4025/6+2012*2013/2 =2719004728

原式=1^2+1+2^2+2+3^2+3+…+99^2+99 =1^2+2^2+3^2+…+99^2+1+2+3+…+99 =99*(99+1)*(2*99+1)/6+99*100/2 =333300

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+ +98*99+99*100=1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)++99(99+1)=1^2+2^2+3^2++99^2+1+2+3++99=99(99+1)(2*99+1)/6+(1+99)99/2=333300 其中利用到了前n项的平方和(n=99)1^2+2^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 前2n项中

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100 =1*2+(2*3+3*4)+(4*5+5*6)+(6*7+7*8)+……+(98*99+99*100) =2*1+2*3+2*5+2*7+2*9+……+2*99 =2*(1^2+3^2+5^2……+99^2) 而1+3+5+.(2n-1)=n(4n^2-1)/3 这里 n=50 1-100所有奇数的平方和=50*(4*50^2-1)/3=166650 所以1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100 =166650*2=333300

1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9+10*10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)*10-(9*9)=469

1*2=((1*2*3)-(0*1*2))/32*3=((2*3*4)-(1*2*3))/33*4=((3*4*5)-(2*3*4))/34*5=((4*5*6)-(3*4*5))/35*6=((5*6*7)-(4*5*6))/3原式=5*6+4*5+3*4+2*3+1*2=((5*6*7)-(4*5*6)+(4*5*6)-(3*4*5)+(3*4*5)-(2*3*4)+(2*3*4)-(1*2*3)+(1*2*3)-(0*1*2))/3=5*6*7/3=70

1*3+2*4+3*5+4*6+5*7+..+10*12=495

n(n+1)=n^2+n1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……n(n+1)=(1^2+2^2+……+n^2)+(1+2+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/31*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……48*49+49*50=49*(49+1)*(49+2)/3=41650

1*2*3+2*3*4=2*3*(1+4)=2*3*51*2*3+2*3*4+3*4*5=2*3*5+3*4*5=3*5*61*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*6=3*5*6+4*5*6=5*6*71*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*6+5*6*7+6*7*8=5*6*7+6*7*8=7*8*111*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*6+5*6*7+6*7*8+7*8*9=7*8*11+7*8*11=7*8*20=1120

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