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limtAn3x sin5x

诺必达求导,分子为3,分母是5

当x→0时, sin3x~3x tan5x~5x, 意思就是当x趋向于0时,sin3x与3x是等价无穷小, tan3x与3x也是等价无穷小,所以在求原极限时可以替换,得: 原极限= lim(x→0)(3x/5x)

等价替换适用于乘、除,不适用加减。当你学到泰勒公式之后,你就明白为什么。 (x→0)lim(tan3x-sin2x)/sin5x=(x→0)lim(tan3x-sin2x)/5x =(x→0)lim(3sex3x-2cos2x)/5=(x→0)lim(3-2)/5=1/5

要记住在x 趋于0的时候, sinx,tanx等等都是等价于x的, 那么在这里, tan3x等价于3x,sin5x等价于5x 所以 原极限 =lim(x趋于0) 3x/5x =3/5 故极限值为3/5

以下省略“X趋于0 ” lim( tan3x-sin5x)/X =lim tan3x/X -limsin5x/x =3lim tan3x/3X -5limsin5x)/5X =3-5 =-2

C

=lim(sin²3t)/(tan²5t)(t趋于0)=lim(3t)²/(5t)²=9/25

x=π-t代换,=lim-tan3t/sin5t=lim-3t/5t=-3/5

等价啥? 难道你是想tan3x等价3x;sin5x等价5x吗? 看清楚,x是→π的,x→π的时候,3x和5x都不是无穷小,怎么等价? 让一个无穷小和和一个非无穷小等价,这是啥道理?

分子分母除以x, 得到原极限=lim(x趋于0) (1+sinx/x *sinx +tan3x/x) /(sin5x/x+2x) 注意x趋于0时,sinx和tanx都等价于x 即sinx/x=1,tan3x/x=3,sin5x/x=5 当然得到原极限=(1+sinx+3)/(5+2x)=4/5

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