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limx趋向于0(√(1+2x²)%1)/(sin(x/2)ArCsinx) ...

洛必达

换元,t = arcsinx, dx = cost dt I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt = (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt = (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C = (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx...

因为sinx的值域是-1到1,就是任何角度的正弦值的绝对值都大于等于0小于等于1,如果arcsinx=y,表示y的正弦值为x,所以x必须满足绝对值都大于等于0小于等于1,如果不是,那么y就不存在,因此函数也就无意义了。就好比X/0值不存在,因此无意义一样。

设f(x)=arcsinx+arccosx,∵f(x)在[-1,1]连续,在(-1,1)可导∴f'(x)=1/√(1-x^2)-1/√(1-x^2) 由拉格朗日中值定理 一定可以在[-1,1]中找到一个a点使得 f(a)=[f(1)-f(-1)]/(1-(-1)) ∵导函数等于0 所以f(x)是常系数函数 即f(x)=a∴x=0时 f(0)=arcsin0+ar...

2个重要要背到烂熟,x趋于0时limx/sinx=1,limx/ln(1+x)=1 所求=lim(x/√(1-x²))/-x=lim-1/√(1-x²)=-1

拆开为两项:第一项x^2arcsinx)/√(1-x^2)是奇函数在对称区间上的积分为0,第二项1/√(1-x^2)的原函数是arcsinx,所以答案是arcsin1-arcsin(-1)=π。

分母可拆成x2arcsinx和1,这样原定积分可分为两个定积分之和.前者是奇函数,定义域又关于原点对称,故为0 后者的原函数为arcsinx,故可用微积分基本公式做出 最后两者加起来便行

∫x arcsinxdarcsinx=xarcsinxarcsinx-∫arcsinx(arcsinx+x/√1-x^2)dx 然后再分部积分

利用等价无穷小替换 x~sinx~arcsinx,最后利用无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量得出答案 具体解题步骤如下:

limsin(1/x) x→0 上述没有极限,因为正弦函数为周期连续函数,1/x为无穷量,sin1/x为不定值,因而没有极限。 limxsin(1/x) x→0 正弦函数为周期连续函数,|sin1/x|≤1,是有限值, x为无穷小量,两者相乘仍为无穷小量,其极限为0。

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