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y=(sinx)^x的导数

郭敦回答:函数y=a^x(a>0,a≠1,a为常数),则y′=a^x ln a.但y=[(sinx)^x为复合函数,sinx不是常数,不能套用上面的公式进行求导,∴y′=[(sinx)^x ln(sinx)](sinx)′=cos x[(sinx)^x ln(sinx)] 的做法不对.对函数y=(sinx)^x两边取对数得,lny= ln (sinx)^x,y′/ y= cos x / (sinx)^x,y′= y cos x / (sinx)^x=(sinx)^x cos x / (sinx)^x= cosx y′=cosx.

先取自然对数lny=sinxlnx两边对x求导得y'/y=cosxlnx+sinx/xy'=(cosxlnx+sinx/x)y=(cosxlnx+sinx/x)*x^sinx

一步一步计算啊 y*=(cosx)**sinx+(sinx)**cosx =2cosx*(cosx)**sinx+cosx*cosx =2cosx*(-sinx)*sinx+cosx =-2cosxsinx+cosx

y=sinx/x所以y'=(sinx/x)'=(xcosx-sinx)/x^2

因为底数和指数都是变量所以不能直接求导lny=xlnsinx(1/y)*y'=1*lnsinx+x*(1/sinx)/(sinx)'=lnsinx+x*(cosx/sinx)=lnsinx+xcotx所以y'=y*(lnsinx+xcotx)==(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)

y=sinx/x求导得到y=(xcosx-sinx)/x^2

对于y=x^sinx两边取自然对数,得 lny=lnx^sinx→lny=sinxlnx.再两边求导数,可得(1/y)y'=(sinx)'lnx+sinx(lnx)' →(1/y)y'=cosxlnx+sinx(1/x) →y'=y[cosxlnx+(1/x)sinx],即y'=x^(sinx)[cosxlnx+(1/x)sinx].

y=sinx^x 两边取对数:lny=x*ln(sinx) 两边同时求导:y'/y=ln(sinx)+x*(ln(sinx))'=ln(sinx)+x*(1/sinx)*cosx 再乘以y:y'=(ln(sinx)+x*(1/sinx)*cosx)*sinx^x=ln(sinx)*sinx^x+x*cosx*sinx^(x-1)

关键是求 x^x 的导数 设 y=x^x 两边同取对数: lny=xlnx 两边同时求导 (1/y)y'=lnx + 1 y'= y(lnx+1) 把y=x^x代入: y'=(lnx+1)x^x(sinx^x)'=[(lnx+1)x^x]cosx^x

lny=sinx●lnx两边同时对x求导1/y●y'=cosx●lnx+sinx/x∴ y'=y(cosx●lnx+sinx/x)=x^sinx(cosx●lnx+sinx/x)

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